Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 1 \\ 1 & - 3 & 4 \\ 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 3 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} | + 0$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 3 & 4 \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 2 \cdot 4 - (- 3 \cdot 1)) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$1 (- 8 - (- 3 \cdot 1)) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- (- 3 \cdot 1)$ .

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Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$1 (- 8 - - 3) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$1 (- 8 + 3) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 8$ e $3$ .

$1 \cdot - 5 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} | + 0$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 5 + 2 (3 \cdot 4 - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$1 \cdot - 5 + 2 (12 - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 \cdot - 5 + 2 (12 - 1) + 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $1$ da $12$ .

$1 \cdot - 5 + 2 \cdot 11 + 0$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 5 + 2 \cdot 11 + 0$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $2$ per $11$ .

$- 5 + 22 + 0$

Passaggio 5.2

Somma $- 5$ e $22$ .

$17 + 0$

Passaggio 5.3

Somma $17$ e $0$ .

$17$